Serie : Mémoires de la Société mathématique de France. Vol 169
Paru le 01/07/2021 | Broché VI-206 pages
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L'étude des dynamiques collectives, observables chez de nombreuses espèces animales, a motivé dans les dernières décennies un champ de recherche actif et transdisciplinaire. De tels comportements sont souvent modélisés par de la matière active, c'est-à-dire par des modèles dans lesquels chaque individu est caractérisé par une vitesse propre qui tend à s'ajuster selon celle de ses voisins.
De nombreux modèles de matière active sont liés à un modèle fondateur proposé en 1995 par Vicsek et al. Ce dernier, ainsi que de nombreux modèles proches, présentent une transition de phase entre un comportement chaotique à haute température, et un comportement global et cohérent à faible température. De nombreuses preuves numériques de telles transitions de phase ont été obtenues dans le cadre des dynamiques collectives. D'un point de vue mathématique, toutefois, ces systèmes actifs sont encore mal compris. Plusieurs résultats ont été obtenus récemment sous une approximation de champ moyen, mais il n'y a encore à ce jour que peu d'études mathématiques de modèles actifs faisant intervenir des interactions purement microscopiques.
Dans cet article, nous décrivons un système de particules actives sur réseau interagissant localement pour aligner leurs vitesses. Comme première étape afin d'atteindre une meilleure compréhension des modèles microscopiques de matière active, nous obtenons rigoureusement, à l'aide du formalisme des limites hydrodynamiques pour les gaz sur réseau, la limite macroscopique de ce système hors-équilibre. Nous développons le travail réalisé par Quastel [35], en apportant une preuve plus détaillée et en incorporant plusieurs généralisations posant de nombreuses difficultés techniques et phénoménologiques.
Collective dynamics can be observed among many animal species, and have given rise in the last decades to an active and interdisciplinary field of study. Such behaviors are often modeled by active matter, in which each individual is self-driven and tends to update its velocity depending on the one of its neighbors.
In a classical model introduced by Vicsek et al, as well as in numerous related active matter models, a phase transition between chaotic behavior at high temperature and global order at low temperature can be observed. Even though ample evidence of these phase transitions has been obtained for collective dynamics, from a mathematical standpoint, such active systems are not fully understood yet. Significant progress has been achieved in the recent years under an assumption of mean-field interactions, however to this day, few rigorous results have been obtained for models involving purely local interactions.
In this paper, as a first step towards the mathematical understanding of active microscopic dynamics, we describe a lattice active particle system, in which particles interact locally to align their velocities. We obtain rigorously, using the formalism developed for hydrodynamic limits of lattice gases, the scaling limit of this out-of-equilibrium system. This article builds on the multi-type exclusion model introduced by Quastel [35] by detailing his proof and incorporating several generalizations, adding significant technical and phenomenological difficulties.
