Serie : Mémoires de la Société mathématique de France. Vol 161
Paru le 01/06/2019 | Broché VII-99 pages
Professionnels
Nous considérons des immersions lisses et isotropes du tore de dimension 2 vers R2n, pour n≥ 2. Quand n = 2 l'image d'une telle application est un tore lagrangien immergé de R4. Nous démontrons que de telles immersions isotropes peuvent être approximées au sens C0, par des applications linéaires par morceaux et isotropes arbitrairement proches. Si n≥ 3, il est possible des choisir des applications linéaires par morceaux qui sont de plus des immersions.
Les démonstrations reposent sur des analogies avec une géométrie et une application moment en dimension infinie introduites par Donaldson. Nous en déduisons un flot en dimension finie, dont les limites, du point de vue expérimental, produisent de nombreux exemples de tores lagrangiens linéraires par morceaux de R4. Le programme libre DMMF, basé sur la méthode d'Euler, montre l'équation d'évolution sous forme de film.
We consider smooth isotropic immersions from the 2-dimensional torus into R2n, for n≥ 2. When n = 2 the image of such map is an immersed Lagrangian torus of R4. We prove that such isotropic immersions can be approximated by arbitrarily C0 -close piecewise linear isotropic maps. If n≥ 3 the piecewise linear isotropic maps can be chosen so that they are piecewise linear isotropic immersions as well.
The proofs are obtained using analogies with an infinite dimensional moment map geometry due to Donaldson. As a byproduct of these considerations, we introduce a numerical flow in finite dimension, whose limits provide, from an experimental perspective, many examples of piecewise linear Lagrangian tori in R4. The DMMF program, which is freely available, is based on the Euler method and shows the evolution equation of discrete surfaces in real time, as a movie.
