Systèmes différentiels linéaires et non-linéaires, stabilité structurelle et bifurcations

Dans le tome I, les auteurs ont déjà examiné quelques exemples d'équations différentielles vectorielles, où l'inconnue est une fonction à voleurs dans Rn. On parle aussi dans ce cas de systèmes d'équations différentielles, ou de systèmes différentiels.

Le présent tome II est consacré à l'étude détaillée des systèmes différentiels. Le chapitre 7 se concentre sur les systèmes différentiels linéaires à coefficients constants. On y interprète notamment en termes de valeurs propres et de vecteurs propres les notions de stabilité et de découplage.

L'annexe C, associée à ce chapitre, expose le matériel d'algèbre linéaire nécessaire, et constitue pratiquement un cours complet, à visée pratique et numérique, sur ce sujet.

Les chapitres 8 et 8* représentent une sérieuse tentative pour comprendre les systèmes différentiels autonomes non linéaires du plan. Les méthodes les plus simples sont rassemblées dons le chapitre 8. On y insiste sur la linéarisation, et sur le fait que grâce à l'analyse qualitative, et en s'aidant d'un bon logiciel graphique, les équations non linéaires sont presque aussi faciles à étudier que les linéaires.

Le chapitre 8* traite ce sujet de façon beaucoup plus profonde. On y démontre le théorème de Poincoré-Ben-dixson et les résultats de Pontryagin-Peixoto. Les auteurs se demandent encore si c'est vraiment une bonne idée d'avoir indus des résultats aussi difficiles dans un livre qui se veut élémentaire.

Le chapitre 9 a pour objet l'étude des bifurcations dans les systèmes différentiels du plan dépendant de paramètres.