Les groupes de frises

La symétrie, depuis l'aube de la pensée, intrigue et captive : philosophes, savants, physiciens, chimistes et, bien sûr, mathématiciens y ont vu tour à tour le signe d'un ordre caché, d'une harmonie fondamentale, d'un langage universel. Les artistes aussi - décorateurs, paveurs, architectes - s'y sont livrés avec passion.

Le présent ouvrage s'attache à une petite province de ce vaste empire, celle des frises et, plus précisément, des groupes de frise, cette rencontre singulière entre algèbre et géométrie dans le cadre très concret de la géométrie affine euclidienne.

Pour pénétrer cet univers, il fallait en restituer les fondements : le livre consacre ainsi sa première partie à une introduction raisonnée à la géométrie affine, à ses notions essentielles - l'homomorphisme flèche, la suite exacte fondamentale, les scindages, les produits semi-directs, les compléments de sous-groupes distingués - autant d'outils subtils et lumineux que l'on croit connaître, mais dont la richesse se révèle ici sous un jour neuf.

Vient ensuite la rencontre avec le monde des frises, leurs sept groupes possibles, la présence insistante du groupe diédral infini, et la découverte des relations délicates entre sous-groupes et les quotients qu'ils induisent certaines fois.

À travers cette exploration, c'est tout un dialogue entre algèbre et géométrie qui se déploie, comme dans l'étude des solides platoniciens ou celle des réseaux cristallographiques, où la rigueur abstraite se mêle à la beauté visible.

Livre pour mathématiciens accomplis comme mathématiciens en herbe, certes, mais aussi livre pour esthètes, artisans et rêveurs, ce petit ouvrage invite le lecteur - qu'il soit chimiste, géomètre ou simplement curieux - à entrer dans un monde où la structure devient poésie et où la frise, si humble en apparence, révèle la splendeur d'un ordre infini.