Serie : Panoramas et synthèses. Vol 32
Paru le 15/03/2011 | Broché X-243 pages
Public motivé
Suite aux travaux fondateurs de Benoît Mandelbrot dans les années 1970, les concepts issus de la géométrie fractale ont donné une nouvelle impulsion à plusieurs secteurs des mathématiques. Le présent ouvrage a pour but de présenter des synthèses sur deux sujets où des avancées importantes ont eu lieu durant les quinze dernières années : les processus multiplicatifs et les fragmentations. Le premier est issu de l'analyse harmonique (les produits de Riesz) et le second d'un modèle probabiliste construit par N. Kolmogorov pour rendre compte de constatations expérimentales sur la fragmentation des roches ; ils présentent cependant des analogies, et utilisent de nombreux outils mathématiques communs, issus de l'étude des fractals aléatoires.
Le premier texte introduit les concepts de base en analyse fractale. Après une mise en perspective historique montrant comment ces notions sont apparues et ont interagi, les définitions des dimensions fractionnaires sont introduites et les outils pertinents de théorie de la mesure sont rappellés. On étudie ensuite des exemples simples de fonctions et mesures multifractales. Enfin, quelques éléments sont fournis sur les systèmes d'ubiquité, qui occupent une place grandissante dans ce domaine.
Le second texte est consacré aux propriétés géométriques fines de mesures obtenues comme limites de processus multiplicatifs : produits de Riesz, mesures de Gibbs, mesures auto-similaires, et chaos multiplicatifs. On commence par décrire leur origine et leurs propriétés essentielles. Puis les notions de dimensions d'une mesure et d'analyse multifractale sont présentées dans un cadre général et illustrées sur les exemples précédents. Enfin, on montre l'efficacité de ces mesures pour la description de la percolation sur les arbres, et de certains recouvrements dynamiques ou aléatoires.
Le troisième texte décrit l'évolution d'objets qui se désagrègent de façon aléatoire au cours du temps, et dont les fragments évoluent indépendamment. Une hypothèse d'auto-similarité statistique leur confère une structure de fractale aléatoire. Les fondements de la théorie des fragmentations sont présentés, et on montre que la loi de tels processus est caractérisée par un indice d'auto-similarité, une mesure de dislocation et un coefficient d'érosion. Puis, on montre comment coder la généalogie du processus de fragmentation à l'aide d'un arbre aléatoire muni d'une métrique. Enfin, on se penche sur la vitesse à laquelle décroît le fragment contenant un point donné. Ceci conduit à étudier le spectre multifractal des vitesses de fragmentation.
